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La trigonométrie sphérique

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Après un rappel de trigonométrie, cette page présente quelques exercices d'application.

Publié le : mercredi 19 mai 2010, par  Michel SAMOEY





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Parler de la trigonométrie sphérique : on peut faire compliqué. Pourtant utiliser la trigonométrie sphérique peut être relativement simple. Les principales difficultées résident uniquement dans le choix de la formule à utiliser et dans le choix du triangle à étudier.

Aperçu historique

Dès l'origine, la trigonométrie a été étudiée comme partie intégrante de l'astronomie. Hyparque (150 AVJC), Ptolémé en font mention. Le premier traité de trigonométrie sphérique semble avoir été écrit vers 1060 par Al Jayyani, un mathématicien de l'Espagne islamique.

RAPPEL de trigonométrie

L'unité d'angle, l'unité d'arc

On appelle arc de 1 radian, un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. On appelle angle de 1 radian, un angle qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. La longueur de l'arc correspondant à la circonférence du cercle est égale à 2pR. Cet arc fait donc 2p radians. L'angle qui intercepte cet arc fait 2p radians.

D'autres unités sont utilisées : le degré (°), le grade (gr) aussi bien pour l'angle et pour l'arc. 360° = 2p rad

La trigonométrie dans un triangle

 

sin a = a/c

cos a = b/c

tg a = a/b

 

Le cercle trigonométrique : un cercle de rayon un

 

sin a = a/R = a

cos a = b/R = b

L'angle au centre et l'arc ont la même valeur.

 

 

 

Rappel de quelques propriétés

sin (90°-x) = cos x ; cos (90°- x) = sin x ; tg (90° - x) = 1/tg x

sin (180°-x) = sin x ; cos (180°- x) = - cos x ; tg (180° - x) = - tg x

Le problème de la fonction inverse

Il faut trouver l'angle y à partir de la valeur x du sinus , du cosinus ou de la tangente.

Les fonctions s'écrivent y = arc sin x , y = arc cos x , y = arc tg x, mais ces fonctions ont 2 solutions.

Le problème sera de déterminer quel angle est la bonne solution.

 

y = arc sin x

Les solutions sont y1 et y2

La solution fournie par les machines est y1 de -90° à +90°

y2 = 180°-y1

 

y = arc cos x

Les solutions sont y1 et y2

La solution fournie par les machines est y1 de 0° à 180°

y2 = 360° - y1 = - y1

 

y = arc tg x

Les solutions sont y1 et y2

La solution fournie par les machines est y1 de -90° à +90°

y2 = y1 + 180°

Pour lever cette indétermination, si on ne connaît pas la plage où se trouvera le résultat (par ex une hauteur sera comprise entre - 90° et + 90°), il faut trouver le résultat de 2 fonctions inverses.

Généralement, on recherche l'arc tg puis le signe de l'arc cos. Si l'arc cosinus est négatif, on rajoute 180° au résultat de l'arc tg.

Grand cercle

C'est un cercle tracé sur la sphère dont le centre est commun avec le centre de la sphère.

Nota : La portion d'un grand cercle forme un géodésique. Les géodésiques sont les courbes qui minimisent la distance d'un point à un autre.

Triangle sphérique

C'est un triangle sur la surface d'une sphère, délimité par 3 arcs de grands cercles.

La trigonométrie sphérique ne s'applique qu'aux triangles délimités par des grands cercles.

Conventions

On donne à l'angle le nom de son sommet (en majuscule) et à l'arc le nom de l'angle opposé en minuscule. La sphère d'étude est une sphère de rayon 1. Dans le plan d'un grand cercle, l'arc a la même valeur que l'angle au centre. On traitera indifféremment l'angle au centre et l'arc.

Les formules de trigonométrie sphérique

Elles sont démontrées à partir des produits scalaires.

Les 3 principales formules de trigonométrie sphérique constituent le groupe de Gauss :

sin a cos B= cos b sin c -sin b cos c cos A ;

sin a sin B= sin b sin A ;

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Autre formule intéressante :

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

Nous sommes à présent parés pour faire quelques exercices.

Les exercices de trigonométrie sphérique

Exercice n°1 Calcul de distance par avion de la distance « a » séparant la ville B de la ville C. On utilise la propriété de l'arc d'un grand cercle qui est le chemin le plus court d'un point d'une sphère à un autre point de la sphère (voir les mots géodésique, orthodromie).

La formule de trigonométrie sphérique à utiliser est cos a = cos b.cos c + sin b.sin c.cos A

L'angle A est la différence des longitudes l1 et l2.

L'arc b est la différence entre 90°et la latitude L1 de la ville C.

L'arc c est la différence entre 90°et la latitude L2 de la ville B.

Exemple pour Saint Petersbourg (C )- Anchorage (B)

VilleLatitude en°Longitude en °
Saint PetersbourgL1 = 59,917 °l1 = 30,417 °
AnchorageL2 = 61,167 °l2= -150,000 °

cos a = cos (90°- L1).cos (90°- L2 + sin (90°- L1 ).sin (90°- L2).cos( l1 - l2)

sachant que sin (90°- x) = cos x ; cos (90°-x) = sin x

cos a = sin L1 . sin L2 + cos L1 . cos L2 . cos (l1 - l2)

cos a = sin 59,92° . sin 61,17° + cos 59,92° . cos 61,17° . cos (30,42° + 150°) cos a = 0,86 x 0,88 + 0,5 x 0,48 x -1

cos a = 0,516

a = arc cos (0,516)

a = 58,88°

La distance la plus courte sur une sphère est toujours inférieure à 180°. L'angle donné par un arc cos est compris entre 0 et 180° Il n'y a donc pas lieu de lever une indétermination.

Le rayon de la Terre fait 6378 km.

La longueur de l'arc a fait : 2 p * 6378 * a/360°

La distance entre Saint Petersbourg et Anchorage est donc de 6554 km.

Attention, ce résultat est approché car les calculs doivent se faire avec plus de précisions et il faut calculer le rayon moyen de la Terre en fonction des latitudes des villes.

Exercice n°2

Calcul de la déclinaison du Soleil.

En considérant que le 20 avril, la longitude écliptique est de 30° calculer la déclinaison du Soleil.

Le point C correspond à la position du Soleil le 20 avril.

Le point A correspond à la position du Soleil le 21 mars.

L'angle A est l'obliquité de la Terre soit 23,45°

La longitude écliptique b est égale 30°

L'angle B fait 90°

La formule de trigonométrie sphérique à utiliser est sin a sin B= sin b sin A

Sachant que sin 90°=1, l'équation devient sin a = sin b sin A.

En utilisant les abréviations habituellement utilisée en astronomie, elle s'écrit :

sin d = sin l sin e

sin d = sin 30° . sin 23,45°

sin d = 0,5 x 0,40

sin d = 0,199

d = arc sin 0,199

d = 11,48°

La déclinaison du Soleil est comprise entre -90° et + 90°. L'angle fourni par un arc sin est compris entre -90° et + 90°. Il n'y a donc pas lieu de lever une indétermination.

Nota : on trouve parfois cette formule d = 23,45° x sin l Cette formule est théoriquement fausse mais l'erreur commise est faible. Elle est inférieure à 0,25°.

Exercice n°3

Calcul de l'ascension droite du Soleil. En considérant que le 20 avril, la longitude écliptique est de 30°, calculer l'ascension droite du Soleil.

Le point C correspond à la position du Soleil le 20 avril.

Le point A correspond à la position du Soleil le 21 mars.

L'angle A est l'obliquité de la Terre soit 23,45°

La longitude écliptique b est égale 30°

L'angle B fait 90°

La formule de trigonométrie sphérique à utiliser est sin a cos B= cos b sin c -sin b cos c cos A

Sachant que cos 90° = 0, l'équation peut s'écrire cos b sin c = sin b cos c cos A et en divisant par cos b cos c

tg c = tg b cos A

En utilisant les abréviations habituellement utilisée en astronomie, elle s'écrit :

tg a= tg l cos e

tg a = tg 30° . cos 23,45°

tg a = 0,577 *0,917

tg a = 0,529

a = arc tg 0,529

a = 27,91°

Il est nécessaire de s'assurer que c'est la bonne solution.

En regardant le dessin, on s'aperçoit a que deviendra supérieure à 90° quand l deviendra supérieur à 90°. Or, l'arc tg ne donne pas d'angle supérieur à 90°

Si 90< l < 270°, il faudra rajouter 180° au résultat trouvé par la résolution de l'arc tg.

On peut faciliter cette démarche en étudiant le signe du cos .

Si cos l <0 , il faut rajouter 180° au calcul de a.

cos l = cos 30° = 0,866

La valeur obtenue est donc valable.

En exprimant a en heure minute seconde, on obtient 1h 51 mn 38 s

Exercice n°4

Calcul de l'azimut Az du lever du Soleil le 21 juin à la latitude j de 50°. On prendra pour la déclinaison d du Soleil le 21 juin 23,45° à laquelle on rajoutera 0,5° pour la réfraction.

Le point C correspond à la position du Soleil le 21 juin. Z est le zénith de l'observateur, N est la direction du pôle Nord, Nh est l'horizon nord de l'observateur. Le point A correspond à l'Est de l'observateur. L'arc de cercle passant par Nh, N, Z et Sh est le méridien du lieu.

L'angle A est l'angle entre le plan de l'observateur et l'équateur.

A= 90°-latitude de l'observateur.

L'angle B fait 90°

L'azimut Az cherché correspond à la longueur de l'arc entre l'horizon nord (Nh) et le Soleil.

Az= 90° - b

La formule de trigonométrie sphérique à utiliser est sin a sin B= sin b sin A

Sachant que sin 90°=1, l'équation devient sin a = sin b sin A.

Soit sin b = sin a / sin A

b = 90°- Az

A= 90°- j

a = d + 0,5

sin (90°- Az) = sin ( d +0,5 )/ sin (90°- j)

sachant que sin(90°-x) = cos x l'équation peut s'écrire :

cos Az =sin d/ cos j

cos Az = sin 23,95° / cos 50

cos Az = 0,406/ 0,643

cos Az = 0,631

Az = arc cos 0,631

Az = 50,87 °

L'azimut du lever est compris entre le Nord et le Sud, soit entre 0 et 180°. L'arc cos donne des valeurs entre 0 et 180°. Il n'y a donc pas lieu de lever une indétermination.

Exercice n°5

Tracé de l'horizon d'un miniciel.

Les étoiles sur un miniciel sont placées en fonction de la déclinaison et de l'ascension droite.

Pour tracer l'horizon, on recherchera la déclinaison de l'horizon en fonction de l'ascension droite et on tracera la distance « d » égale à 90°-la déclinaison en fonction de l'ascension droite.

Afin de faciliter l'emploi des formules, les points ont gardé les noms usuels mais avec une permutation et il faut remarquer que le point B est le point cardinal Est.

Pour simplifier le calcul, il faut réaliser cet exercice quand le point B est également l'origine de l'ascension droite.

L'angle B est égale à 90° - la latitude

Il faut déterminer d en fonction de c (ascension droite) et de l'angle B .

Pour cela il faut utiliser la 1 ère et 2 ème formules :

sin a cos B= cos b sin c -sin b cos c cos A

sin a sin B= sin b sin A

Comme A = 90° ces formules se simplifient

sin a cos B = cos b sin c

sin a sin B = sin b

En divisant la 2 ème par la 1 ère

tg B = tg b / sin c

tg b = tg B sin c

sin c = sin a

B = 90° - j

tg B = tg (90°- j ) = cotg j = 1/ tg j

tg b = tg(90°- d) = 1/tg d

1/tg d = sin a / tg j

tg d = tg j / sin a

d = arc tg (tg j / sin a )

d est compris entre 0 et 180°.

L'arc tg donne une valeur entre -90° et 90°.

Quand a est supérieur à 180°, d est supérieur à 90°

Quand sin a est négatif, il faut donc rajouter 180° au résultat.

Exercice n°6

Transformation des coordonnées équatoriales en coordonnées horizontales.

Pour réaliser cette transformation, il faut connaître l'angle horaire H de l'objet O.

 

L'angle horaire H est l'angle entre le méridien du lieu et l'objet c'est à dire l'angle ONZ.

Il se calcule en faisant la différence entre le temps sidéral local (TSL) (c'est-à-dire l'angle entre le méridien du lieu et le point vernal) et l'ascension droite de l'astre.

H= TSL - a

Le TSL se calcule à partir du TS de Greenwich (TSG) et la longitude du lieu.

Le TSG varie avec l'heure et le jour.

 

On connaît :

-   l'angle horaire H c'est-à-dire l'angle ONZ

-   la déclinaison d  ; l'arc ON = 90° -

-   la latitude du lieu j qui correspond à l'arc entre Z et l'équateur ; l' arc NZ = 90° -

-   La hauteur h est égale 90° - l'arc OZ.

Calcul de la hauteur h

La formule à utiliser est cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

A = H ; a = 90°-h ; b= 90°- d ; c= 90°- j

cos (90°-h) = cos (90°- d ) . cos (90°- j ) + sin (90°- d ) . sin (90°- j ) . cos H

sin h = sin d . sin j + cos d . cos j . cos H

h = arc sin (sin d . sin j + cos d . cos j . cos H )

Calcul de l'azimut Az

Il correspond à l'arc D Sh

1ère solution  :

On utilise la 2 ème formule

sin a sin B= sin b sin A

a = 90°- h ; A = angle horaire H ; b = 90°- d B =180°-Az

sin(90°- h) . sin 180°-Az = sin (90°- d ) . sin H

sin Az = cos d sin H/ cos h

Az = arc sin (cos d sin H/ cos h)

2ème solution

On utilise la 3ème formule

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos A =( cos a - cos b . cos c) / sin b . sin c

A= 180°- Az ; a=90°- d ; b=90°- j ; c=90°-h

cos 180°- Az =( cos (90°- d ) - cos (90°- j ) . cos (90°-h)) / sin (90°- j ) . sin (90°-h)

- cos Az = (sin d - sin j . sin h )/cos j . cos h

Az = arc cos (( sin j. sin h - sin d )/ cos j . cos h)

3ème solution

On utilise la 1ère formule

sin a cos B= cos b sin c -sin b cos c cos A

A = H ; a = 90°-h ; B =180°-Az ; b = 90°- d ; c = 90°- j

sin (90°-h) . cos (180°- Az) = cos (90°- d ) . sin (90°- j ) -sin (90°- d ) . cos (90°- j ) . cos H

j - cos d . sin j . cos H

cos Az = (cos d . sin j . cos H - sin d . cos j ) / cos h

Az = arc cos ((cos d . sin j . cos H - sin d . cos j ) / cos h)

4ème solution

On utilise la 1ere et 2eme formule

sin a cos B= cos b sin c -sin b cos c cos A

sin a sin B= sin b sin A

tg B = sin b sin A / cos b sin c -sin b cos c cos A

B = 180°-Az ; b = 90° - d ; c = 90°- j ; A = H

tg (180°-Az) = sin (90°- d ) sin H / cos (90°- d ) . sin (90°- j ) - sin (90°- d ) . cos (90°- j ) . cos H

- tg Az = cos d . sin H / (sin d . cos j - cos d . sin j .cos H)

Az = arc tg (- cos d . sin H /( sin d . cos j - cos d . sin j .cos H))

Ou encore

Az = arc tg (cos d . sin H / (cos d . sin j .cos H - sin d . cos j ))

En divisant haut et bas par cos

Az = arc tg (sin H / (sin j .cos H - tg d . cos j ))

Quelle solution choisir ?

On a ici l'exemple même du problème de la fonction inverse qui peut donner 3 résultats différents ! Exemple pour j =50° ; d = 25 ; H = 147

on trouve

- avec l'arc cos : 150°,

- avec l'arc sin : 30° ,

- avec l'arc tg : - 30°

Pour ôter cette incertitude, il faut trouver le signe du cos. Si le cos est négatif, il faut rajouter 180° à la solution obtenue avec l'arc tg.

On utilisera donc de préférence la solution 4

Az = arc tg (cos d . sin H / (cos d . sin j .cos H - sin d . cos j ))

et on recherchera le signe du cos Az avec la 3ème solution :

cos Az = (cos d . sin j . cos H - sin d . cos j ) / cos h .

Exercice n°7

Recherche de la répartition statistique des inclinaisons des comètes sur l'écliptique qui résulterait d'une répartition régulière (par rapport à la surface) du point d'origine des comètes (source) et d'une répartition régulière des angles autour de l'axe joignant le point d'origine et le centre de la sphère écliptique.

Pour cette étude, on démarre en s'imposant un plan de référence passant par la source. Afin d'étudier toutes les sources, l'angle C entre ce plan et l'écliptique variera de -90° à +90°. Afin d'étudier tous les plans des comètes, l'angle B variera de 0 à 360°. Il s'agit à présent d'exprimer l'angle A en fonction des angles B et C

Le triangle sphérique sera formé par
-  le plan de référence
-  le plan de la comète
-  le plan de l'écliptique

La formule à utiliser sera :

Cos A = cos B cos C + sin B sin C cos a

L'arc a fait 90°. Cos a = 0

La formule se simplifie.

Cos A = cos B cos C

A =arc cos (cos B cos C)

L'angle cherché sera exprimé entre -90° et + 90°.

Après un calcul avec des valeurs différentes de l'angle C de la source et de l'angle B autour de l'axe et en tenant compte d'une répartition régulière de la source par rapport à la surface de la sphère d'étude, on obtient le graphique ci-dessous. Il fait apparaître que peu de comètes ont une inclinaison proche de 0.



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Auteur :



Michel SAMOEY

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